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bienvenidos al curso, mi nombre es Manuel Bautista Grande soy PF de Matematicas. Pitágoras media type="youtube" key="YoVo-iH130Y?version=3" height="390" width="640"
 * (isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.

Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía. Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder. La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto. La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo. El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría». También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega. El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas. La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo. || ||   ||  ||  ||


 * [[image:http://www.biografiasyvidas.com/images/p.gif width="4" height="4"]] || [[image:http://www.biografiasyvidas.com/images/p.gif width="4" height="4"]] ||  || [[image:http://www.biografiasyvidas.com/images/p.gif width="4" height="4"]] || [[image:http://www.biografiasyvidas.com/images/p.gif width="4" height="4"]] ||
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 * || **TEOREMA DE PITÁGORAS** || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/imagenes/paginic.jpg width="105" height="35" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/index.htm"]]

|||| ** En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. **  **a2 + b2 = c2**  || || Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos? (Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan) || ||  ||  ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag01.gif width="189" height="98" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag01.htm"]]
 * Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente: ||
 * ** El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ** || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag02.gif width="186" height="220" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag01.htm"]]
 * Teorema de Pitágoras generalizado**
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag11.gif width="121" height="150" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/Pitag11.htm"]]

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas. **DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS** **PITÁGORAS.** **A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad** **a2 + b2 = c2** || || || ** Elementos de Euclides. Proposición I.47. ** ** En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. **  Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha. La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color. || || || A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa. 1.- Los siguientes disecciones son válidas para cualquier triángulo rectángulo. Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.
 * DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS**
 * Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.
 * PLATÓN.**
 * La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos. || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag16.gif width="204" height="207" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag16.htm"]]
 * EUCLIDES.**
 * La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.
 * BHÂSKARA**
 * ¡ Mira ! || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag18.gif width="214" height="270" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag18.htm"]]
 * PUZZLES PITAGÓRICOS.**

|| ||  || ||  ||  || 2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triángulo rectángulo inicial sea el que se indica. || ||  || ||  ||  || 3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitágoras, también el del cateto. Son validos para triángulos rectángulos con los ángulos (excluido el recto) en el intervalo que se indica en cada caso. Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el número de piezas, y no puede generalizarse con un número finito. Ángulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60. 30 ≤ A ≤ 60; || 45 ≤ A ≤ 60; por tanto 30 ≤ B ≤ 45 || **DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS.** Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o más elegantes. Estás son algunas de las mas populares. || ||  || ||  ||  ||
 * **1. Ozanam** || **2.- Perigal** || 3.- ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag21.gif width="209" height="272" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag21.htm"]]
 * **4. Anaricio** || **5. Bhâskara** || 6.- ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag24.gif width="222" height="270" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag24.htm"]]
 * 7.- || 8.- ||  ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag26.gif width="234" height="265" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag26.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag27.gif width="207" height="274" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag27.htm"]] ||  ||
 * Triangulo Rectángulo Isósceles ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag31.gif width="244" height="245" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag31.htm"]]
 * Triangulo rectángulo 3,4,5 |||| Cateto mayor / cateto menor = 2 ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag34.gif width="240" height="262" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag34.htm"]]
 * Hipotenusa /cateto menor =3 || Hipotenusa/cateto menor = 2 ||  ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag35.gif width="203" height="271" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag35.htm"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag35hex.gif width="193" height="266"]] ||  ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag36.gif width="246" height="259" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag36.htm"]]
 * Estas dos disecciones muestran gráficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitación que se ha expresado anteriormente. ||
 * Pappus |||| Ibn Qurra ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag41.gif width="171" height="215" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag41.htm"]]
 * Leonardo de Vinci || Garfield || Vieta ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag44.gif width="157" height="233" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag44.htm"]]

Otras demostraciones algebraicas. || ||   ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag47.gif width="256" height="136" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/Pitag47.htm"]]

Se ha dejado para el final una prueba (posiblemente desarrollada por el propio Pitágoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es suficiente con un triángulo rectángulo. ||  ||
 * || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag50.gif width="287" height="151" link="http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitag50.htm"]]

Algunos autores, hablan de la existencia de hasta mil demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras. En 1927, E. S. Loomis publica //The Pitagoream Proposition// donde aparecen 367 pruebas.

**PÁGINAS SOBRE EL TEOREMA DE PITÁGORAS.** http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm La Gacetilla Matemática dedica un amplio espacio a este teorema. @http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/pitagoras/pitagoras.htm del departamento de matemáticas del IES Maria Moliner, Valladolid. Con Animaciones en Flash muy interesantes. http://almez.pntic.mec.es/~jdec0000/geometria_dinamica_del_triangulo/teorema_de_pitagoras.htm con applet Descartes. @http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html @http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/Pitagoras.htm Con applet Descartes. @http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm/pitagora.htm de la excelente página Bella Geometría. @http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/Pit.pdf amplio e interesante documento.

Los sellos postales también rinden homenaje a Pitágoras y al teorema:


 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello11.jpg width="129" height="177" align="center"]] |||||| [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello12.jpg width="141" height="181" align="center"]] || [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello13.jpg width="163" height="182" align="left"]] ||
 * [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello14.jpg width="250" height="181" align="right"]] ||  |||| [[image:http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/pitagsello15.jpg width="262" height="179" align="left"]] ||

Alguna de las demostraciones y datos expuestos se han tomado de : -GONZALEZ URBANEJA, Pedro M., Pitágoras el filósofo del número. La Matemática en sus personajes, 9. Ed. Nivola. Madrid 2001. [] , y . Los dos lados más cortos se llaman y el más largo se llama .Vemos que se cumple el ** de** . La igualdad numérica que se observa es: 3 elevado al cuadrado más elevado al, es igual que elevado al . ||
 * [[image:http://www.xtec.es/%7Esmuria/projecte/imatges/tombarella.gif width="64" height="42" align="left"]] || Actividades sobre triángulos rectángulos  ||   ||   ||
 * **Ejercicio 1:**  Constata la relación que hay entre los lados del triángulo rectángulo de la figura.  || [[image:http://www.xtec.es/%7Esmuria/projecte/imatges/act8ex1.gif width="357" height="323" caption="Fíjate en los cuadrados que hemos dibujado en los lados del triángulo rectángulo"]] ||  __Completa__: Los lados del triángulo miden respectivamente
 * **Ejercicio 1:**  Constata la relación que hay entre los lados del triángulo rectángulo de la figura.  || [[image:http://www.xtec.es/%7Esmuria/projecte/imatges/act8ex1.gif width="357" height="323" caption="Fíjate en los cuadrados que hemos dibujado en los lados del triángulo rectángulo"]] ||  __Completa__: Los lados del triángulo miden respectivamente
 * Pero también se puede ver como una relación geométrica. El área del dibujado sobre el lado sumado con el área del dibujado sobre el lado mide igual que el del cuadrado del lado . ||

Mueve los triángulos. Observa qué siempre el triángulo es rectángulo y podemos cambiar las medidas. (Puedes modificar el triángulo arrastrando los puntos A, B y C)   ¿Es verdad que siempre el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos? Completa: Con lo que observamos, parece que llegamos a la conclusión de que Si un triángulo es rectángulo, entonces, la  de los de los dos catetos es igual al de la . Pero esto no demuestra que sea verdad. Sólo nos muestra que lo parece, porque nos da muchos . _   ** Ejercicio 3: **Se trata de una manera de mostrar la relación de Pitágoras en cualquier triángulo rectángulo. Observa lo que ves. Inicialmente, Tenemos un triángulo rectángulo blanco. ... Explica con palabras lo que has visto: Explica cómo podemos asegurar que el cuadrado negro es lo mismo que la suma del cuadrado verde y el cuadrado rojo Completa el resultado: Llegamos, por lo tanto, a la conclusión, de que para CUALQUIER rectángulo de **//a//** y
 * Ejercicio 2:

**b** y

**c** se cumple que: //a2 = b2 + c2// || **//[|Clica aquí para ver otra demostración de la relación Pitágorica]//**  || a) Encuentra todos los triángulos de perímetro 12 que tiene sus lados enteros. Escribe en los recuadros la medida de los tres lados. Como ejemplo te damos uno: **2,4,6** ||  ||   ||   ||   ||
 * Ejercicio 4: Ahora vamos a observar el Teorema al revés.

b) Di cual de los anteriores crees que es un triángulo rectángulo: || || || || ||  ** Con esto hemos mostrado que si un **
 * c) Después de haber enviado los resultados, rellena los espacios con las medidas que has puesto y comprueba si los diferentes triángulos son o no rectángulos. **Comprobación**  ||
 * Completa la conclusión:
 * Completa la conclusión:

cumple con la relación de Pitágoras, es seguro que es

. Y si no cumple la relación, seguro que

es rectángulo. ||
 * ** Ejercicio 5: ** El Teorema de Pitágoras nos sirve para encontrar un lado de un triángulo rectángulo sabiendo los otros dos. Dados los siguientes lados de un triángulo rectángulo, calcula el que nos falta. Usa una calculadora para el cálculo aproximado. || 1) || a = 5 cm || b = 4 cm || c = ||
 * 2) || a = 13 m || b = || c = 5 m ||
 * 3) || a = || b = 3'5 dm || c = 22 cm ||

_

** Ejercicio 6: **Aplica el Teorema de Pitágoras al ejemplo siguiente. Una escalera de incendios se apoya en la fachada. Evidentemente se coloca a una distancia normalmente fijada. Vamos a considerar que se pone a 10 metros. Como sabes, se puede alargar. Calcula la medida que debe alargarse para alcanzar un edificio de 20 m, 25 m, 30 m, 35m, 40 m, 45m, 50 m. etc. Completa los resultados en la tabla. Las escaleras o grúas modernas tienen un pequeño ordenador que tiene estos datos introducidos. Cuando se estima donde debe llegar, se le da el dato, y la escalera se alarga sola al número correspondiente. Como puedes calcular, la diferencia con la altura del edificio no es mucha. Puedes pensar en elaborar una tabla ahora para el caso de que la distancia a la base del edificio sea de 20 m. ||
 * || [[image:http://www.xtec.es/%7Esmuria/projecte/imatges/escalera1.jpg width="200" height="150"]] ||
 * [[image:http://www.xtec.es/%7Esmuria/projecte/imatges/act8ex6.jpg width="200" height="162"]] ||
 * [[image:http://www.xtec.es/%7Esmuria/projecte/imatges/act8ex7.jpg width="198" height="274"]] ||  ||   ||   || escalera || 22.36 ||   ||   ||   || 41,23 ||   ||   ||
 * altura || 20 || 25 || 30 || 35 || 40 || 45 || 50 ||  ||
 * Observa que el doble de edificio no implica el doble de escalera Usa una calculadora para poner el resultado aproximado.
 * || escalera ||  ||   || 36,05 ||   ||   ||   ||   ||
 * altura || 20 || 25 || 30 || 35 || 40 || 45 || 50 ||  ||
 * Ahora explica si la diferencia con la altura, aumenta con respecto a la anterior o no. ||  ||

> Cuando queremos apuntalar con mayor seguridad una antena de 20m, pensamos en colocar 4 cables de amarre (blancos inclinados) aguantándolos en la base a 5m del centro de la torre. ¿Qué medida de cable debemos comprar? Explica tus cálculos lo mejor posible.// (El cuadrado de 4 se pone 4^2) // || ||
 * ** Ejercicio 7: ** Otra aplicación importante. Buscar caminos mínimos o distancias rectas.

** Ejercicio 8: **Observa la pirámide de base triangular formada como un puzzle. En ella podemos dibujar varios triángulos rectángulos como el que está en amarillo. Estas medidas las podemos obtener porque son ACCESIBLES.
 * [[image:http://www.xtec.es/%7Esmuria/projecte/imatges/act8ex4.jpg width="302" height="218"]] || [[image:http://www.xtec.es/%7Esmuria/projecte/imatges/act8ex5.jpg width="254" height="214"]] ||
 * Pero podemos imaginar más triángulos rectángulos, que nos permitan relacionar medidas no accesibles como la altura de la pirámide. ¿Cuánto mide la altura de la pirámide, si la arista de la pirámide mide 10 cm? Explica tus cálculos. // (Recuerda que el cuadrado de 4 se pone 4^2) // ||  ||

ACTIVIDADES RECOMENDABLES PARA ENSEÑAR JUGANDO﻿ ﻿ **INTRODUCCIÓN.**
Entre los materiales que pueden usarse en clase de matemáticas existe una gran variedad de puzzles. Por un lado están los rompecabezas planos entre los que podemos citar el Tangram Chino y los Pentominós como los más conocidos. Entre los tridimensionales se encuentra el que hoy queremos presentar. Los puzzles basados en apilamientos de cubos coloreados se remontan a 1921 cuando el matemático Alexander MacMahon especialista en Combinatoria publicó su libro "Nuevos pasatiempos matemáticos". Básicamente consisten en una serie de cubos (normalmente 4) con sus caras coloreadas con distintos colores (generalmente 4 también) que se unen procurando conseguir unas distribuciones concretas de esos colores. Existen varios de rompecabezas comercializados y se pueden encontrar otras distribuciones de color distintas en los libros citados en la bibliografía. Los nombres que suelen dársele a estos juegos (Logicubos, Locura Instantánea, Cubos Diabólicos, Cuatro Locos, etc...) dan una idea de que no son un rompecabezas fácil de resolver, generalmente por tener sólo una posible solución. Lo usual en estos puzzles es colocar los cubos formando una fila de forma que en cada uno de los cuatro lados de esa fila aparezcan los cuatro colores. Buscando una distribución de colores que permitiera disposiciones más variadas, creamos el siguiente puzzle.

**JUEGO.** Tenemos cuatro cubos, pintados con cuatro colores distintos y de forma que en cada uno de ellos no aparezca un color más de dos veces. La distribución de los colores viene indicada en los siguientes desarrollos.

DESAFÍOS. Esta combinación de los cuatro cubos de colores permite las siguientes colocaciones: 1.- Colocar los cuatro cubos en fila de modo que en los cuatro lados de la fila estén los cuatro colores.

2.- Colocar los cuatro cubos en fila de modo que en cada lado de la fila esté uno de los cuatro colores.

3.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan cada una un color. - Y las cuatro caras 2x1 sean, cada una, de un color distinto, sin que se repitan.

4.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan cada una un color. - Y de las cuatro caras 2x1 haya dos caras con uno de los otros dos colores.

5.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan cada una un color. - Y de las cuatro caras 2x1 haya tres caras con uno de los otros dos colores y la cuarta cara 2x1 con el cuarto color.

6.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan cada una un color. - Las caras 2x1 tengan dos colores distintos y entre las cuatro caras 2x1 haya dos veces cada color.

7.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan los cuatro colores. - Y las cuatro caras 2x1 cada una sea de un color distinto, sin que se repitan.

8.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan los cuatro colores. - Y de las cuatro caras 2x1 dos sean de un color y las otras dos de otro.

9.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan los cuatro colores. - Las caras 2x1 tengan dos colores distintos y entre las cuatro caras 2x1 haya dos veces cada color.

10.- Colocar los cuatro cubos formando un podium de manera que los planos de cada dirección del espacio tengan un solo color.

11.- Colocar los cuatro cubos formando una “S” de manera que los planos de cada dirección del espacio tengan un solo color.

12.- Colocar los cuatro cubos formando una “L” de manera que los planos de cada dirección del espacio tengan un solo color.

13.- Colocar los cuatro cubos formando una “doble escalera” de manera que los planos de cada dirección del espacio (en esta figura no se tiene en cuenta el plano oculto por la base) tengan un solo color.

UTILIZACIÓN DEL JUEGO EN EL AULA Actividades de aula que se pueden realizar con este juego son las siguientes: 1) Entregar a los alumnos el puzzle construido y pedirles que busquen una forma de escribir la distribución de los colores de cada cubo, buscando el desarrollo necesario y la notación con la cual representar cada pieza. 2) Se les puede entregar el desarrollo y a partir de él proponer la construcción del puzzle, lo que resulta un buen proyecto para Tecnología en ESO. Pueden realizarse en cartulina los desarrollos y después montar los cubos. También se pueden usar cubos de madera y pintar las caras con los colores correspondientes. Otra forma muy fácil de construcción consiste en coger cubos de plástico de los rompecabezas apilables infantiles y pegarles en sus caras pegatinas de colores. Dan muy buen resultado los papeles adhesivos que se utilizan para forrar los estantes de los muebles de cocina, tanto para plástico como para madera. 3) Con el puzzle construido resolver las distribuciones que se han planteado como desafíos. 4) Estudiar la distribución combinatoria de colores que se pueden utilizar para los cubos, investigando cuántos cubos diferentes aparecen, según la cantidad de colores a utilizar. 5) Diseñar puzzles nuevos a partir del estudio que se haya realizado en el apartado anterior y buscar distintos retos que resolver con esos cubos.

= ** EL NÚMERO DE ORO ** = || Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega ) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea. >> La sección áurea y el número de oro. >> El rectángulo áureo. >> Pitágoras y el número de oro. >> La sucesión de Fibonacci. >> El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza. >> La trigonometría y el número de oro. >> Curiosidades áureas. || Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son: Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5). Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado es  que da como resultado el número de oro. 
 * [[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/bar1.gif width="540" height="5"]] ||
 * >> [[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/fatblue.gif width="32" height="32" link="http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm#1"]]Tres números con nombre.
 * >> [[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/fatblue.gif width="32" height="32" link="http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm#1"]]Tres números con nombre.
 * [[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/bar1.gif width="540" height="5"]] ||
 * === Tres números con nombre  ===
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">El número designado con la letra griega [[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/pi.gif width="16" height="17" align="absBottom"]] = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2.[[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/pi.gif width="16" height="17" align="absBottom"]].radio= [[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/pi.gif width="16" height="17" align="absBottom"]].diámetro).
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general [[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/sucesion.gif width="57" height="48" align="absMiddle"]].
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">El número designado con letra griega [[image:http://rt000z8y.eresmas.net/Oro_iconos/fi2.gif width="16" height="25" align="textTop"]]= 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

La sección áurea y el número de oro
<span style="color: #000000; display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea. <span style="color: #000000; display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: center; text-indent: 20px;"> <span style="color: #000000; display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: center; text-indent: 20px;"> <span style="color: #000000; display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=. <span style="color: #000000; display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor, <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: center; text-indent: 20px;"> <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">

El rectángulo áureo
<span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: center; text-indent: 20px;"> <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es  (nuestro número de oro). > <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: center; text-indent: 20px;"> <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...). <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C. En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces: Vamos a demostrar que los vectores y

son proporcionales:

Por lo tanto, los tres puntos están alineados. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">

Pitágoras y el número de oro
<span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">**Pitágoras** (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que **Pitágoras** había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de **Pitágoras** se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio **Pitágoras** proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de **Pitágoras**, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que **Pitágoras** se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de **Pitágoras**. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: center; text-indent: 20px;"> También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea. Ver la sección [|La trigonometría y el número de oro]. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: center; text-indent: 20px;">

La sucesión de Fibonacci
<span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Consideremos la siguiente sucesión de números: > > <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: center; text-indent: 20px;">1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... > <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55. > <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Esta sucesión es la llamada "sucesión de **Fibonacci**"// * //. <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">// * //**// Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano. //** <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 150%; text-align: justify; text-indent: 20px;">La sucesión de **Fibonacci** presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calcula do los primeros catorce términos de esta sucesión: || t 1 || t2 || t3 || t4 || t5 || t6 || t7 || t8 || t9 || t10 || t11 || t12 || t13 || t14 || ¡Aún las hay más difíciles de imaginar! //1 : 1 = 1// //2 : 1 = 2// //3 : 2 = 1´5// //5 : 3 = 1´66666666// //8 : 5 = 1´6// //13 : 8 = 1´625// //21 :13 = 1´6153846....// //34 :21 = 1´6190476....// //55 :34 = 1´6176471....// //89 :55 = 1´6181818....//   Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803.... En lenguaje matemático, Efectivamente,
 * ** 1 ** || ** 1 ** || ** 2 ** || ** 3 ** || ** 5 ** || ** 8 ** || ** 13 ** || ** 21 ** || ** 34 ** || ** 55 ** || ** 89 ** || ** 144 ** || ** 233 ** || ** 377 ** ||
 * <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 200%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).
 * <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 200%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).
 * <span style="display: block; font-family: Comic Sans MS; line-height: 200%; text-align: justify; text-indent: 20px;">Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).
 * Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t 4 =3 y t 5 =5; elevando al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno ( 4+5 ) término de la sucesión. Tomando t 6 =8 y t 7 =13; elevando al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el ( 6+7 ) decimotercer término de la sucesión.
 * Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.
 * Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...   Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego. En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=. Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En **La Gran Pirámide de Keops**, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2. Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la **Tumba Rupestre de Mira** en Asia Menor. Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo **Leonardo da Vinci**. Sirvió para ilustrar el libro //La Divina Proporción// de **Luca Pacioli** editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, **Pacioli** propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo. El cuadro de Dalí //Leda atómica//, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico. En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas. __La espiral logarítmica__ Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica. Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó //spira// //mirabilis//, rogando que fuera grabada en su tumba. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del //nautilus//.

La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen: a>b>c>d. Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno. Triángulo ABE Triángulo ABF Triángulo AFG Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º. En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones: Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestro número de oro. Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendo b=1: (el numero de oro) Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea. Como consecuencia, se verifica.

Curiosidades áureas
Potencias. Los números guardan unas curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuación que tiene como solución el número de oro: Potencias 2. Consideremos la sucesión de término general:. Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias podemos concluir que la sucesión dada se convierte en   Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci. Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan como resultado el número de oro: 1 2   1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se comprueba que se verifica la ecuación . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final

. Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro. 2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la relación . Quitando denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación

cuya solución positiva es el número de oro.

EL NUMERO DE ORO EN EL ARTE Y LA NATURALEZA

 * [|Arte y Arquitectura]

¿Dónde podemos encontrar el número áureo a nuestro alrededor?
A lo largo de la historia, desde pensadores hasta matemáticos o teólogos han meditado sobre la misteriosa relación que se establece entre el número áureo y la naturaleza de la realidad. Esta curiosa relación matemática, conocida popularmente como la Proporción Divina o Áurea, fue definida por Euclides hace más de dos mil años a raíz de su papel crucial en la construcción del pentagrama, al cual se le atribuyen propiedades mágicas. Desde entonces, ha mostrado una propensión a aparecer en una variedad de lugares de lo más sorprendentes que veremos a continuación: Extremo áureo

Girasol El número áureo también aparece en la formación de los flósculos de los girasoles y en la disposición de los pétalos de algunas plantas como los cactus o rosas: También rige las dimensiones y formas de GALAXIAS que contienen billones de estrellas y define la dinámica de los agujeros negros. Pero también podemos encontrar la belleza de la espiral de Dudero en HURACANES. Otro ejemplo es el del corazón de la MANZANA, en cuyo interior hay una curiosa estrella, llamada estrella pentagonal. El rectángulo de numerosos objetos nos resultan especialmente armoniosos hasta tal punto que las primeras trajetas de crédito tenían las dimensiones de esos rectángulos especiales ya que tienen unas proporciones determinadas y una extraña propiedad a la que se le atribuye el número áureo. Curiosamente, muchos matemáticos han encontrado esa proporción divina en muchos instrumentos (tanto en la estructura interior y exterior) como el que os mostramos a continuación: EL VIOLÍN. Encontramos de nuevo una extraña proporción que la asociamos con la naturaleza y la representación del número de oro en la forma tan particular que presentan las TELARAÑAS Al igual que encontramos el número áureo en la naturaleza, también existe un punto áureo muy interesante y bello que encontramos en la fotografía de las CEREZAS editada por Juan Yanes. Una de las curiosas representaciones en las que volvemos a encontrar a Fi, es en la formación de los copos de nieve y su particular forma estrellada. ¿Pura casualidad? ¿O necesitamos más ejemplos para demostrar que muchos de los fenómenos naturales que ocurren se pueden explicar a base de las matemáticas? No solo aparece en la naturaleza, sino que también esta proporción puede aparecer en el ser humano, por eso muchos matemáticos y científicos han desarrollado teorías sobre las modelos o la gente que nos parece atractiva, es porque en la estructura de su cuerpo aparece la divina proporción en muchos de las partes de nuetsro organismo. En el caso de la fotografía aparece en las falanges de los dedos de una mano. Otro ejemplo en donde aparecere la división de dos segmentos suyo resultado es 1,618... , es decir, el número áureo es el el brazo de una persona Como no, en esta imagen en donde la flor se comprime en las distintas dimesiones del rectángulo áureo que nos dará paso a ver la espiral en la próxima fotografía. Por último en esta imagen vemos representado la famosa espiral de Dudero (pintor renacentista) que se forma a partir del rectángulo áureo y que podemos encontrar en la formación de las conchas de muchos moluscos Al igual que en la imagen anterior, podemos encontrar la espiral del rectángulo áureo en los cuernos de muchos animales como los rumiantes. Otro curioso ejemplo es la propiedad del número áureo que aparece en las cajetillas rectangulares del tabaco, cuyas proporciones se ajustan al número Fi. También elementos de uso cotidiano, como el DNI, están basados en la proporción áurea. Para finalizar este apartado, muchos científicos incluso han sugerido que el número áureo y sus proporciones están conectadas con el comportamiento de los mercados de valores y el crecimiento de muchos animales y plantas que mantenien la forma y conservan las proporciones entre sus partes directamente con el número de oro.

No solo podemos encontrar el número áureo y sus propiedades y proporciones en estos ejemplos, muchos de los objetos geométricos que hay en nuestro alrededor como los billetes, los huevos de las gallinas, las estrellas de mar, las billeteras, todas las flores pentagonales también contienen las características de este número mágico.